ACPCday2 F: Timing

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グラフの辺の重みの設定が特殊になっている状況で最短経路を求めればよい。ある頂点に時刻tにたどり着いたときに辺iを使って次の頂点に行くのにかかるコストは $min_k(ceil(b/(t+a+k)) + k)$ となる。制約的に二分探索か三分探索ができそうだなあと思いどんな感じのグラフになっているかを確認してみる。するとt+a+k=sqrt(b)となっているあたりで最小な下に凸になっているようなグラフになっている。したがって各辺を通るのにかかるコストはk=sqrt(b)-a-t or k=0となっているあたりを試せば高速に求められる。辺のコストが求められるのであとはdijkstra法をして最短経路を求めればよい。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using PII = pair<int, int>;
template <typename T> using V = vector<T>;
template <typename T> using VV = vector<V<T>>;
template <typename T> using VVV = vector<VV<T>>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll INF = (1LL<<60);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  struct edge { int to, a, b; };

  int n, m, s, t;
  cin >> n >> m >> s >> t; s--, t--;
  V<int> x(m), y(m), a(m), b(m);
  VV<edge> g(n);
  REP(i, m) {
    cin >> x[i] >> y[i] >> a[i] >> b[i], x[i]--, y[i]--;
    g[x[i]].push_back({y[i], a[i], b[i]});
    g[y[i]].push_back({x[i], a[i], b[i]});
  }

  V<int> d(n);
  REP(i, n) d[i] = INF;
  d[s] = 0;
  priority_queue<PII, V<PII>, greater<PII>> que;
  que.push({d[s], s});

  while(que.size()) {
    PII p = que.top(); que.pop();
    if(d[p.second] < p.first) continue;
    for(auto i: g[p.second]) {
      // p.second -> i.to の適切なkを見つける
      // ceil(i.b/(d[p.second]+i.a+k)) + k を最小化するkを求める
      int sq = sqrt(i.b), cost = ceil((double)i.b/(d[p.second]+i.a));
      for(int j=max(0LL, sq-10-d[p.second]-i.a); j<sq-d[p.second]-i.a+10; ++j) {
        int tmp = ceil((double)i.b/(d[p.second]+i.a+j)) + j;
        chmin(cost, tmp);
      }
      if(d[i.to] > d[p.second] + cost) {
        d[i.to] = d[p.second] + cost;
        que.push({d[i.to], i.to});
      }
    }
  }

  if(d[t] == INF) cout << -1 << endl;
  else cout << d[t] << endl;

  return 0;
}