CSA #67 E - Hamming Distances

考えたこと

A[i]より前の要素A[j]について探索するO(N^2)の高速化を考える
cnt[i][j]=(A[i]とのハミング距離がjの要素数) とする
cnt[i][j] を cnt[i-1][j] と A[i]とA[i-1]のハミング距離などから高速に求められないか？
ハミング距離に推移律がないのが厄介でできる気がしない
ハミング距離はXORを取って1が立っているビットの数を求めればよい
全ての要素とXORを取るのはbinary trieとかでできる
popcountで各要素を参照しないといけないのでどのみちO(N)かかる
Nについてどうこうやるのは厳しそうなのでMについて考える
どうがんばってもO(N2^M)にしかならない
—–解説を見た—–
参照をO(2^M)、追加をO(1)みたいになってる部分を両方O(2^{M/2})にする
O(NM2^(M/2)) に高速化できる

はじめて見た考え方な気がする。queryがO(N)で更新O(1)をセグ木でqueryをO(logN)で更新をO(logN)にするのと同じ、頭がいい。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using PII = pair<int, int>;
template <typename T> using V = vector<T>;
template <typename T> using VV = vector<V<T>>;
template <typename T> using VVV = vector<VV<T>>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll INF = (1LL<<60);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

int a[256][256][9];
signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int n, m;
  cin >> n >> m;
  V<int> x(n);
  REP(i, n) cin >> x[i];

  // O(NM2^(M/2))
  REP(i, n) {
    V<int> cnt(m+1);
    // O(M2^(M/2)) でquery
    for(int j=0; j<(1<<m); j+=1<<8) {
      int num = __builtin_popcount((j^x[i])&0xff00);
      REP(k, 9) cnt[k+num] += a[j>>8][x[i]&0xff][k];
    }
    // O(2^(M/2)) でupdate
    REP(j, 256) {
      int num = __builtin_popcount((j^x[i])&0xff);
      a[x[i]>>8][j][num]++;
    }
    // 答え出力
    REP(j, m+1) cout << cnt[j] << (j==m ? '\n' : ' ');
  }
  cout << flush;

  return 0;
}