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Aug 26, 2018 - 2 minute read - 競技プログラミング

第１６回日本情報オリンピック 予選 E - 尾根 (Ridge)

問題ページ

解法

2次元グリッドをグラフに直して考えてみる。問題の条件的にこのグラフに閉路が存在することはなくDAGになっている。したがって閉路を気にせずにDFSなどで探索が可能である。頂点xから水を流したときに最終的にたどり着く頂点の集合p[x]を各頂点で保持しつつ探索するとする。頂点xからつながっている頂点をa[0],a[1],…,a[k]とするとp[x]はp[a[0]],p[a[1]],…,p[a[k]]をマージした集合になる。
しかし各頂点で頂点集合を保持しているとマージにかかる計算量的にもメモリ的にも到底間に合わない。p[x]の要素数が2以上であれば頂点xにつながる頂点はすべて条件を満たす尾根の頂点になる。つまりp[x]の要素数が2以上であれば頂点集合を列挙して持つ必要はなく要素数が2以上であることだけがわかればよい。
d[x]=(頂点xから水を流したときに最終的にたどり着く頂点番号,2頂点以上,初期化状態のいずれか) として状態を保持しつつdfsを行えばよい。

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;
#define int ll
using PII = pair<int, int>;
template <typename T> using V = vector<T>;
template <typename T> using VV = vector<V<T>>;
template <typename T> using VVV = vector<VV<T>>;

#define FOR(i, a, n) for (ll i = (ll)a; i < (ll)n; ++i)
#define REP(i, n) FOR(i, 0, n)
#define ALL(x) x.begin(), x.end()
#define PB push_back

const ll INF = (1LL<<60);
const int MOD = 1000000007;

template <typename T> T &chmin(T &a, const T &b) { return a = min(a, b); }
template <typename T> T &chmax(T &a, const T &b) { return a = max(a, b); }
template <typename T> bool IN(T a, T b, T x) { return a<=x&&x<b; }
template<typename T> T ceil(T a, T b) { return a/b + !!(a%b); }
template<class S,class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const pair<S,T>& a){
  out<<'('<<a.first<<','<<a.second<<')';
  return out;
}
template<class T>
ostream &operator <<(ostream& out,const vector<T>& a){
  out<<'[';
  REP(i, a.size()) {out<<a[i];if(i!=a.size()-1)out<<',';}
  out<<']';
  return out;
}

int dx[] = {0, 1, 0, -1}, dy[] = {1, 0, -1, 0};

V<int> g[1000010];
int d[1000010];
signed main(void)
{
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int h, w;
  cin >> h >> w;
  VV<int> a(h, V<int>(w));
  REP(i, h) REP(j, w) cin >> a[i][j], a[i][j]--;

  REP(i, h) REP(j, w) {
    REP(k, 4) {
      int nx = j + dx[k], ny = i + dy[k];
      if(IN(0LL,h,ny) && IN(0LL,w,nx) && a[i][j]>a[ny][nx]) {
        g[a[i][j]].PB(a[ny][nx]);
      }
    }
  }

  int n = h*w;
  function<int(int)> dfs = [&](int x) {
    if(g[x].size()==0) return d[x]=x;
    if(d[x]!=n) return d[x];
    
    int ret = -2;
    for(auto i: g[x]) {
      int tmp = dfs(i);
      if(ret == -2) ret = tmp;
      else if(tmp != ret) ret = -1;
    }
    return d[x] = ret;
  };

  REP(i, n) d[i] = n;
  REP(i, n) {
    if(d[i]==n) {
      dfs(i);
    }
  }

  // REP(i, n) cout << d[i] << " ";
  // cout << endl;

  int ans = 0;
  REP(i, n) if(d[i]==-1) ans++;
  cout << ans << endl;

  return 0;
}